5x5タイル埋め問題

駅の床のタイル模様を眺めてたら次のような問題が思いついたので、解きながら通勤してました。
そして、最後で詰まりました。困った。

5×5で構成された、全25マスの空間がある。
ここに、一辺が3タイルでL字型をしたピースをはめ込んでいく。
1マスには1タイルがぴったり納まる。1マスには2つ以上のタイルは入らない。
マスに対し、斜めにピースをはめ込むことはできない。ピースが空間をはみ出ることもできない。

この時、最大いくつのピースをはめることができるか、証明せよ。

3ピースかなと思ってたんだけど、帰りがけに4ピースのパターンが思いつきました。
『全25マスなので、6ピースをはめることはできない（必要なタイルが6ピース×5タイル＝30マスとなるから）』は簡単に証明できるけど、 ここに、5ピースが埋まらないこと（いや、5ピース埋める方法があるかもしれないけど！）の証明方法がなかなか思いつきませんでした。お風呂場のタイルでも頑張ってみたけど駄目でした。。。

どうやるのが良いんだろう。
簡素化した『3×3の全9マスに、一辺が2タイルのL字型は2つまでしか入らない』は、何となく証明できそう（どのようの2つ入れても、縦方向と横方向の両方に、連続した2マスの空欄を残せない）なので、それをヒントに解いていくのがいいのかな？

コンピュータでは、全パターンを洗い出して、それが『存在しないこと』を帰納的に証明できる。
しかし、コンピュータは理屈をこねて演繹的証明することができない。
空間が10×10マスであっても、20×20マスであっても、証明方法が分かれば一瞬で解けるはず。
コンピュータは、ただ計算量を増やすことでしか対処はできない。
この問題について考えてみて、そこにまだ勝機が残っていると思った。

しかし、解けないと気持ち悪いな。。。問題を文章化できないから、Googleでも検索することができないし。
でも、こうやって文章をまとめて投稿すれば、Googleでは検索できないところを私は検索できる。ほら、やっぱりコンピュータに勝てる範囲はまだ残っているね。